在高中数学的学习当中，三元一次方程组是不可避免的话题。本文将介绍三元一次方程组的概念、求解方法以及应用示例。
三元一次方程组概念
三元一次方程组是由三个含有两个未知数的线性方程所组成的方程组。
三元一次方程组的一般形式为：
ax by cz=d
ex fy gz=h
ix jy kz=l
其中，a、b、c、d、e、f、g、h、i、j、k、l均为已知常数，x、y、z为未知变量。
三元一次方程组的求解方法
三元一次方程组的求解通常有两种方法：高斯消元法和克拉默法则。
以下用一组方程为例说明求解方法：
2x y-z=1
3x 2y z=4
-x y 2z=7
高斯消元法的求解步骤如下：
- 将方程组增广矩阵写出：
[2 1 -1 1]
[3 2 1 4]
[-1 1 2 7] - 对增广矩阵进行初等行变换，将其化成简化行阶梯形：
[1 0 0 2]
[0 1 0 -3]
[0 0 1 4] - 由简化行阶梯形得出方程的解为：x=2、y=-3、z=4。
克拉默法则的求解步骤如下：
- 求出方程组的系数行列式D：
|2 1 -1|
|3 2 1|
|-1 1 2|=12 - 求出未知数x的系数行列式Dx：
|1 1 -1|
|4 2 1|
|7 1 2|=30 - 求出未知数y的系数行列式Dy：
|2 1 -1|
|3 4 1|
|-1 7 2|=-93 - 求出未知数z的系数行列式Dz：
|2 1 1|
|3 2 4|
|-1 1 7|=43 - 由克拉默法则得出方程的解为：x=2、y=-3、z=4。
三元一次方程组的应用示例
以三元一次方程组的应用为例，探讨如何解决实际问题。某工厂生产A、B、C三种产品，这三种产品的每天生产成本分别为2元、3元、5元。如果生产5个A、4个B、1个C的总成本为39元，生产3个A、6个B、2个C的总成本为36元，生产1个A、3个B、4个C的总成本为24元，问每种产品的单个成本是多少元？
解：
以A产品的单个成本为x元，则有：
5x 4y z=39
3x 6y 2z=36
x 3y 4z=24
解方程组得：x=2、y=3、z=5，即A产品的单个成本为2元，B产品的单个成本为3元，C产品的单个成本为5元。
